- Um zwischen einem Objekt in der Raumzeit und der Darstellung durch Frequenzvariablen zu wechseln
- räumliche Frequenz
![{\displaystyle \mathbf {k} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ea699cbc1f843f2e855577d57529430ec33a1ed)
- zeitliche Frequenz
![{\displaystyle \omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8)
- Vierervektor
![{\displaystyle (\omega ,\mathbf {k} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2de860032d942514ef18c6171c38973a64e54447)
- Elektrisches Dipolmoment
![{\displaystyle p=(E,\mathbf {p} )=(\hbar \,\omega ,\hbar \,\mathbf {k} )=\hbar \,(\omega ,\mathbf {k} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/135ee966383f394a7449b4fce8e865f105f6e347)
mit
![{\displaystyle \hbar =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5f56ce258c75510831a8a14f3e2970ef0a1467)
![{\displaystyle {\tilde {f}}(k)=\int {\mathrm {d} ^{4}\,x}\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,k\,x}\,f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9653873d949ed47013e0309bb4a02c78ad688500)
![{\displaystyle {\tilde {f}}(\omega ,\mathbf {k} )=\int {\mathrm {d} ^{3}\,x}\,{\mathrm {d} \,t}\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,(\omega \,t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} )}\,f(t,\mathbf {x} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67b3c315a72bfbc2ad2e34f5a508ae94e69f24a9)
Umkehrung
![{\displaystyle f(x)=\int {\dfrac {\mathrm {d} ^{4}\,k}{(2\,\pi )^{4}}}\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,k\,x}\,{\tilde {f}}(k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b9ca70b9fddc68b1262755a334ef1c0190f76cd)
mit
![{\displaystyle \int {\mathrm {d} ^{4}}=\int {\mathrm {d} \,x^{0}}{\mathrm {d} \,x^{1}}{\mathrm {d} \,x^{2}}{\mathrm {d} \,x^{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d105536afb18d77bbdea510900476a6b7c892706)
Dan Integral der d-dimensionalen Dirac-Delta-Funktion ist gegeben durch
![{\displaystyle \int \mathrm {d} ^{d}\,x\,\delta ^{(d)}(x)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/519f564a653a86646f712ebd424f0d98a8600437)
und definiert durch
![{\displaystyle \int \mathrm {d} ^{d}\,x\,f(x)\,\delta ^{(d)}(x)=f(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34b88a1b4b8e8665194b24025e3f28e8f62b28ad)
Fouriertransformation:
![{\displaystyle {\tilde {\delta }}^{(d)}(k)=\int \mathrm {d} ^{d}\,x\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,k\,x}\delta ^{(d)}(x)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/718d73b3526a7f3f2876099286d0f8a3b9a9fbf1)
Inverse Fouriertransformation in der 4d-Raumzeit:
- <math>\delta^{(4)}(x) = \int\dfrac{\mathrm{d}^4\,k}{(2\,\pi)^4}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,k\,x}\,1
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