Benutzer:MovGP0/Physik/Kovariante und Kontravariante Komponenten

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen
   MovGP0        Über mich        Hilfen        Artikel        Weblinks        Literatur        Zitate        Notizen        Programmierung        Physik      

Kovariante und Kontravariante Komponenten

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
kontravariante Komponenten kovariante Komponenten

Kovariante und kontravariante Vektorkomponenten

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Kontravariante Komponenten eines Vektors
Kovariante Komponenten eines Vektors

Vektoren werden als Komponenten dargestellt, welche entlang der Komponenten der Vektorbasis gemessen werden. Als Basis eines Vektors können hierbei beliebige Vektoren, mathematische Funktionen oder Matrizen (z. B. Pauli-Matrizen) dienen.

Für einen gegebenen Vektor unterscheidet man zwischen kontravarianten Komponenten des Vektors (mit hochgestellten Indizes), sowie kovarianten Komponenten des Vektors (mit tiefgestellten Indizes). Kontravariante Komponenten sind hierbei so gewählt, dass man den Vektor aus der Summe der Produkte der kontravarianten Komponenten und den zugehörigen Elementen der Basis erhält:

Kovariante Komponenten erhält man durch eine orthogonale Messung (d. h. im 90°-Winkel) zur jeweiligen Basis. Hierbei gilt der Zusammenhang:

Ein Vektor , welcher in der Form ausgedrückt wird, wird als kontravarianter Vektor bezeichnet. Umgekehrt wird ein Vektor in der Form als kovarianter Vektor bezeichnet.

Wenn es sich bei der Vektorbasis um eine Orthonormalbasis handelt, so gilt .

und

und

Skalarprodukt mit Skalar

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

und

Skalarprodukt mit Vektor

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

und

Skalarprodukt mit Matrix

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

und

Ein Spezialfall hiervon ist die Vektorrotation, bei der ein Vektor mit Hilfe eines Tensors gedreht wird:

mit und

und

mit und

Das Kreuzprodukt kann mithilfe des Levi-Civita-Symbols definiert werden:

und

oder gleichwertig:

und

es gilt daher:

Betrag des Vektors

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit dem metrischen Tensor lässt sich auch die Länge des Vektors ermitteln:

.