Benutzer:MovGP0/Wichtige Tensoren

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Physik Physik Dynamik • Grundlagen • Subatomare Teilchen • Kovariante und Kontravariante Komponenten • Ricci-Kalkül • Wichtige Tensoren Mathematische Grundlagen Mathematik für ET Semester 1 • Semester 2 • Semester 3 Mathematik Kombinatorik und Permutationen • Ableitung • Dreiecksnotation • Gradient, Divergenz, Rotation • Metrischer Tensor • Christoffelsymbole • Krümmungstensor • Energie-Impuls-Tensor • Kosmologische Konstante Quantenmechanik mit Matrizen Imaginäre und komplexe Zahlen • Vektoren • Matrizen • Jacobi-Matrizen • Pauli-Matrizen • Hermitesche Matrizen Lineare Algebra und Tensoren Tensornotation • Tensoren • Dirac-Notation • Körper • Vektorraum Gruppentheorie Gruppen, Lie Gruppen, Lie Algebren Quantenphysik Spin und Magnetisches Moment • Quantenoperatoren • Schrödingergleichung Quantenfeldtheorie Einleitung Spezielle Relativitätstheorie • Fouriertransformationen • Elektromagnetismus Harmonische Oszillatoren Lagrange-Dichten Fermatsches Prinzip • Newtonsche Gesetze • Funktionale • Lagrange-Dichten und kleinste Wirkung Einfache Harmonische Oszillatoren  • Besetzungszahldarstellung  • Anwendung der Zweiten Quantisierung  • Wichtige Tensoren Knonecker Delta → Hauptartikel: Kronecker-Delta Entspricht der Identitätsmatrix im euklidschen Raum $\delta _{\color {Brown}n}^{\color {Brown}m}={\delta ^{\color {Brown}m}}_{\color {Brown}n}={\delta _{\color {Brown}n}}^{\color {Brown}m}$ Die Spur (der Trace) gibt die Anzahl der Dimensionen zurück $\delta _{\color {Brown}m}^{\color {Brown}m}=\delta _{\color {Brown}1}^{\color {Brown}1}+\delta _{\color {Brown}2}^{\color {Brown}2}+\ldots +\delta _{\color {Brown}d}^{\color {Brown}d}=d$ Metrischer Tensor → Hauptartikel: Metrischer Tensor Um zwischen der kontravarianten und der kontravarianten Komponentendarstellung zu wechseln, verwendet man den metrische Tensor $g_{mn}$ $a_{\color {Brown}n}=g_{\color {Brown}mn}\,a^{\color {Brown}m}$, sowie dessen Inverses $g^{\color {Brown}mn}$: $a^{\color {Brown}n}=g^{\color {Brown}mn}\,a_{\color {Brown}m}$. Den metrischen Tensor erhält man hierbei über $g_{\color {Brown}mn}=e_{\color {Brown}m}\,e_{\color {Brown}n}$, während man den inversen metrischen Tensor über den Zusammenhang $g^{\color {Brown}mr}\,g_{\color {Brown}rn}=\delta _{\color {Brown}n}^{\color {Brown}m}$ erhält. Der metrische Tensor kann zur Messung der Länge einer Kurve verwendet werden. Levi-Civita-Symbol → Hauptartikel: Levi-Civita-Symbol Levi-Civita-Symbol, auch Permutationssymbol, total antisymmetrischer Tensor oder Epsilon-Tensor Entspricht der Determinante im Euklidschen Raum $\varepsilon _{ijk\dots }=\prod _{1\leq p<q\leq n}{\frac {i_{p}-i_{q}}{p-q}}={\begin{cases}+1,&{\mbox{falls }}(i,j,k,\dots ){\mbox{ eine gerade Permutation von }}(1,2,3,\dots ){\mbox{ ist,}}\\-1,&{\mbox{falls }}(i,j,k,\dots ){\mbox{ eine ungerade Permutation von }}(1,2,3,\dots ){\mbox{ ist,}}\\0,&{\mbox{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.}}\end{cases}}$